घन समीकरण कैलकुलेटर: ax³ + bx² + cx + d = 0 के सभी मूल
ax³ + bx² + cx + d = 0 के चारों गुणांक डालें। तीनों मूल (वास्तविक या सम्मिश्र), वक्र का ग्राफ़ और हल दिखेगा।
- आपकी भरी जानकारी कहीं सेव नहीं होती
- मुफ़्त
- साइन-अप की ज़रूरत नहीं
मूल
x = 1, 2, 3
तीन वास्तविक मूल- x₁
- 1
- x₂
- 2
- x₃
- 3
हल देखें
- x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
- x = t + 2 → t³ + pt + q = 0
- p = c/a − b²/3a² = −1
- q = 2b³/27a³ − bc/3a² + d/a = 0
- Δ = (q/2)² + (p/3)³ = −1/27
- Δ < 0: t = 2√(−p/3)·cos(⅓·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3), k = 0, 1, 2
- x₁ = 1
- x₂ = 2
- x₃ = 3
कैसे इस्तेमाल करें
- समीकरण को ax³ + bx² + cx + d = 0 के रूप में लिखें (जो पद नहीं है उसके लिए 0)।
- a, b, c और d डालें।
- मूल देखें और “हल देखें” में विधि पढ़ें।
ज़रूरी जानकारी
तरीका: x = t − b/3a रखने से x² वाला पद हट जाता है और t³ + pt + q = 0 मिलता है। Δ = (q/2)² + (p/3)³ का चिह्न तय करता है: Δ > 0 पर एक वास्तविक और दो सम्मिश्र मूल (कार्डानो सूत्र), Δ = 0 पर दोहराए मूल, Δ < 0 पर तीन वास्तविक मूल (त्रिकोणमितीय रूप)।
सटीक रूप: अगर एक मूल आसान भिन्न है, तो समीकरण को (x − मूल) से भाग देकर बचा हुआ द्विघात सटीक हल किया जाता है, इसलिए x³ − 8 = 0 पर 2 और −1 ± i√3 दिखता है।
वास्तविक गुणांक वाले हर घन समीकरण का कम से कम एक मूल वास्तविक होता है, और सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी जोड़े में आते हैं। दशमलव मूल न्यूटन विधि से सुधारे जाते हैं।
सवाल-जवाब
घन समीकरण के कितने मूल होते हैं?
ठीक तीन, दोहराए और सम्मिश्र मूल मिलाकर। इनमें से कम से कम एक हमेशा वास्तविक होता है।
कार्डानो विधि क्या है?
t³ + pt + q = 0 के लिए 16वीं सदी का सूत्र: t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ)। यह Δ > 0 पर इस्तेमाल होता है।
कभी-कभी त्रिकोणमितीय विधि क्यों?
तीन वास्तविक मूल होने पर कार्डानो सूत्र में सम्मिश्र संख्याओं के घनमूल लेने पड़ते हैं। cos वाला रूप वही मूल सीधे देता है।
x³ − 2x = 0 कैसे डालें?
a = 1, b = 0, c = −2, d = 0। जो घात नहीं है उसका गुणांक 0।
क्या मेरी डाली हुई जानकारी कहीं भेजी या सेव होती है?
नहीं। पूरा हिसाब आपके ब्राउज़र में ही होता है, कुछ भी आपके डिवाइस से बाहर नहीं जाता।