आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर कैलकुलेटर: 2×2 और 3×3 मैट्रिक्स
2×2 या 3×3 मैट्रिक्स हर लाइन में एक पंक्ति लिखें। अभिलाक्षणिक बहुपद, आइगेनमान (जहाँ हो सके सटीक) और हर वास्तविक आइगेनमान का सदिश मिलेगा।
- आपकी भरी जानकारी कहीं सेव नहीं होती
- मुफ़्त
- साइन-अप की ज़रूरत नहीं
आइगेनमान
λ = 5, 2
- अनुरेख (λ का योग)
- 7
- सारणिक (λ का गुणनफल)
- 10
जाँच: आइगेनमानों का योग 7 (अनुरेख) और गुणनफल 10 (सारणिक) है।
हल देखें
- A = [4, 1; 2, 3]
- det(A − λI) = 0
- λ² − (tr A)λ + det A = 0
- tr A = 7, det A = 10
- λ² − 7λ + 10 = 0
- λ = (tr A ± √(tr² − 4 det)) / 2 = 5, 2
- λ₁ = 5: (A − 5I)v = 0 → v = (1, 1)
- λ₂ = 2: (A − 2I)v = 0 → v = (−1/2, 1)
आइगेनसदिश
| λ | आइगेनमान | आइगेनसदिश |
|---|---|---|
| λ₁ | 5 | (1, 1) |
| λ₂ | 2 | (−1/2, 1) |
कैसे इस्तेमाल करें
- मैट्रिक्स लिखें, जैसे “4 1” फिर “2 3”।
- आइगेनमान देखें; दोहराए मान (×2) से चिह्नित हैं।
- सदिशों की तालिका देखें और “हल देखें” खोलें।
ज़रूरी जानकारी
आइगेनमान det(A − λI) = 0 के हल हैं। 2×2 में यह λ² − (tr A)λ + det A = 0 है, जो करणी में सटीक हल होता है। 3×3 में λ³ − (tr A)λ² + (M₁₁ + M₂₂ + M₃₃)λ − det A = 0, जो घन समीकरण की तरह हल होता है।
हर वास्तविक आइगेनमान λ के लिए आइगेनसदिश v, (A − λI)v = 0 को संतुष्ट करता है। इसे ऐसे स्केल किया जाता है कि सबसे बड़ी संख्या 1 हो; इसका कोई भी शून्येतर गुणज भी आइगेनसदिश है।
जल्दी जाँच: आइगेनमानों का योग अनुरेख (trace) के बराबर और गुणनफल सारणिक के बराबर होता है। वास्तविक सममित मैट्रिक्स के आइगेनमान हमेशा वास्तविक होते हैं; घूर्णन से सम्मिश्र मिलते हैं।
सवाल-जवाब
[4, 1; 2, 3] के आइगेनमान क्या हैं?
λ² − 7λ + 10 = 0, इसलिए λ = 5 और λ = 2, सदिश (1, 1) और (−1/2, 1)।
कुछ आइगेनमान सम्मिश्र क्यों आते हैं?
अभिलाक्षणिक समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते, जैसे घूर्णन मैट्रिक्स [0, −1; 1, 0] से λ = ±i।
क्या आइगेनसदिश एक ही होता है?
नहीं। उसका कोई भी शून्येतर गुणज भी सही है। कैलकुलेटर उसे ऐसे स्केल करता है कि सबसे बड़ी संख्या 1 हो।
सिर्फ़ 2×2 और 3×3 क्यों?
स्कूल और ज़्यादातर इंजीनियरिंग अभ्यास इन्हीं में आते हैं और साफ़ हल दिखाया जा सकता है। बड़े मैट्रिक्स के लिए पुनरावृत्ति वाली संख्यात्मक विधियाँ चाहिए।
क्या मेरी डाली हुई जानकारी कहीं भेजी या सेव होती है?
नहीं। पूरा हिसाब आपके ब्राउज़र में ही होता है, कुछ भी आपके डिवाइस से बाहर नहीं जाता।